SN曲線ガイド：複合材料の疲労寿命を予測する

ダウウェイ・ビークル社では、高性能な自動車部品および船舶部品を製造しています。重い鋼鉄を軽量な繊維強化複合材に置き換える場合、これらの部品が繰り返し荷重に対してどれくらいの期間耐えられるかを正確に把握する必要があります。そのために、当社ではSN曲線と呼ばれるツールを活用しています。

ここでは、SN曲線、その背後にある工学的原理、そして材料の破壊を予測するために使用される13の数理モデルについて、分かりやすい言葉で解説します。

1. SN曲線とは何ですか？

SN曲線は、材料が破壊するまでに耐えられる負荷サイクル数と、それに伴う繰り返し応力の関係を示すものです。これは、エンジニアが疲労寿命を計算する際に用いる主要なツールです。

• S（ストレス）： これは応力振幅（$S$または$\sigma_a$）または最大応力（$\sigma_{max}$）です。単位はメガパスカル（$\text{MPa}$）またはポンド毎平方インチ（$\text{psi}$）です。
• N（サイクル数）： これは、材料がひび割れたり破損したりするまでに耐えられる応力サイクルの数です。この数は数百万にも及ぶ可能性があるため、対数スケール（$\log N$）でプロットします。

2. 実験室でSN曲線を取得する方法

SN曲線は推測では予測できません。実際に試験を実施する必要があります。その方法は次のとおりです。

1. 表面の欠陥がデータに影響を与えないように、同一の滑らかで研磨された試料を複数用意します。
2. 異なる試料に異なる一定応力レベルを適用し、高い応力から始めて徐々に下げていきます（$S_1 > S_2 > S_3 \dots$）。
3. 回転曲げ試験や軸方向引張圧縮試験などの繰り返し荷重試験を、標準応力比（通常は$R = -1$）を用いて実施します。
4. 各試験片が破損した際の正確なサイクル数（N）を記録します。
5. これらのデータポイントを片対数グラフまたは両対数グラフにプロットし、回帰分析を用いてそれらを通る直線を引きます。

3．3つの疲労ゾーン

SN曲線を見ると、3つの明確な領域があることに気づくでしょう。

    Stress (S)
      ^
      |  \  (LCF: N < 10^4)
      |    \
      |      \  (HCF: N = 10^5 to 10^7)
      |        \----------------------- (VHCF & Fatigue Limit / Horizontal Line)
      |
      +------------------------------------> Cycles (N, Log Scale)

低サイクル疲労（LCF）

この領域は左端に位置し、N < 10⁴サイクルです。ここでは応力が非常に高く、材料の降伏強度に近いか、それを超えることがよくあります。材料は塑性変形し、曲線は急速に低下します。寿命は短いです。

高サイクル疲労（HCF）

これは中間領域で、10⁵サイクルから10⁷サイクルの範囲です。応力レベルは降伏強度を下回るため、材料は弾性的にしか伸びません。曲線は徐々に下降します。標準的な可動部品のほとんどは、この領域で設計されます。

超高サイクル疲労（VHCF）

この領域は右端にあり、$10^7$サイクルを超えています。鋼鉄などの一部の金属では、曲線は水平な直線になります。この水平な線は 疲労限度 （または耐久限界）。周期的な応力がこの線を下回っていれば、理論的には部品は永久に持ちこたえるはずです（$N \rightarrow \infty$）。

4. SN曲線に関する13の数理モデル

異なる材料は、繰り返し応力下で異なる挙動を示します。これは、自動車や船舶に使用される繊維強化プラスチックにおいて特に顕著です。エンジニアは、試験データに適合させるために13種類の異なる数理モデルを使用します。

1) バスキンモデル

これは金属の高サイクル疲労に関する古典的な公式です。$$S = A \cdot N^b$$

ここで、$A$と$b$は材料定数である。対数-対数グラフでは、この式は直線となる。

2) ストロマイヤーモデル

この式には疲労限度を表す項が追加されています。$$S = S_e + B \cdot N^{-c}$$

$N$が無限大に近づくにつれて、応力$S$は耐久限界$S_e$に近づきます。

3) ワイブルSNモデル

これは柔軟な統計式です：$$(S – S_{e}) \cdot (N + B)^d = C$$

ここで、$S_e$は疲労限度であり、$B$、$C$、および$d$は曲線近似パラメータである。

4) コハウツ フルレンジモデル

この式は疲労寿命の全範囲に当てはまり、LCF、HCF、VHCFを1つの式にまとめています。$$S = S_0 \left( \frac{N + N_0}{N_0} \right)^{-p}$$

パラメータ $S_0$、$N_0$、および $p$ は、数学的な結果を実際の遷移領域に合わせるのに役立ちます。

5) Sendeckyjsモデル

Sendeckyj は応力-寿命関係をマッピングするために等価静的強度を導入しました。$$S_e = S_{max} \left[ \left( \frac{S_{max}}{S_u} \right)^{-1/s} + (R – 1)\beta\log N \right]^{-s}$$

この方程式は、複合構造において疲労寿命と静的極限強度を結びつけるため、非常に高く評価されている。

6) Hwang & Hans疲労弾性率モデル

ガラス繊維強化ポリマー（GFRP）向けに設計されたこのモデルは、応力だけでなく剛性の低下も考慮します。$$F(n) = F_0 – A \cdot n^B$$

これは、nサイクルにわたって材料の弾性率がどれだけ低下するかを計算します。

7) キムの現象学的モデル

このモデルは、微視的な損傷率を巨視的な疲労強度に直接結びつけることで、複合材積層板に対して非常に正確な適合性を提供します。

8) 呉福強のワイブル張力-張力モデル

呉福強博士のチームは、引張-引張繰り返し疲労下の繊維強化複合材料をモデル化するために、このワイブル分布に基づく関数を構築しました。$$S = A – B \cdot[\ln(N)]^C$$

ここで、$A$、$B$、$C$はカスタムフィッティングパラメータです。

9) 呉福強の代替モデル

これは同じチームが作成した、改良版の2番目のモデルで、複合材料における複雑な多軸疲労データに適合するように最適化されています。

10) Mu Penggang ロジスティックモデル

シグモイドロジスティック関数に基づくと、次の式が成り立つ。$$S = \frac{A – D}{1 + (N/C)^B} + D$$

このモデルは、サイクル寿命が低い状態から高い状態へと明確なS字型の変化を示す材料のマッピングに最適です。

11) マス確率モデル

複合材料は、製造上の小さな欠陥が原因で、データのばらつきが大きくなることがよくあります。Ma氏のモデルは、確率を用いてPSN曲線を描き、データのばらつきが大きい場合でも設計の安全性を維持します。

12) Gaoらによる確率的マッピングモデル

Gaosの研究チームは、ワイブル分布を用いて静的強度と疲労強度を関連付けることで、エンジニアが簡単な静的試験から直接、サイクル寿命を予測できるようにした。

13) 葉林SNモデル

複合構造向けに構築された、信頼性が高く安定したモデルであり、複雑なコンピュータシミュレーションにおいてスムーズな数理的収束を保証します。

5. SN曲線に変化をもたらす要因とは？

教科書に載っているSN曲線をそのまま実際の車両や船舶に適用することはできません。以下の5つの要因によって曲線は下方にシフトします。

1. 応力比（$R$): 最小応力と最大応力の比（$R = \sigma_{min}/\sigma_{max}$）。対称荷重（$R = -1$）が基準値です。平均引張荷重（$R > -1$）がある場合、曲線は下方にシフトし、部品がより早く破損することを意味します。
2. ロードモード: 曲げ、引っ張り、ねじりなど、あらゆる応力材料はそれぞれ異なる方法で負荷されます。回転曲げ試験では、最大応力が最外表面にのみ発生するため、最も高い疲労限度が示されます。
3. ストレス集中度： 切り欠き、穴、鋭角、溶接部などは応力を集中させる。これらはSN曲線全体を低下させ、平坦な疲労限度を消失させる可能性がある。
4. 表面仕上げ: 表面の粗さ、腐食による穴、または表面の損傷は、亀裂が発生しやすい場所となり、疲労限度を低下させる。
5. 温度と環境： 高温は材料を軟化させる。海洋環境では、塩水が金属を腐食させると同時に、金属は繰り返し応力を受ける。この二重の打撃により、水平方向の疲労限度が完全に失われ、材料は際限なく弱体化する。

6. エンジニアリングにおけるSN曲線の活用方法

• インフィニットライフデザイン： 当社では、トラックの車軸などの重要な鋼製部品にこの技術を使用しています。使用時の応力を疲労限度以下に抑えることで、通常の使用条件下では部品が破損しないようにしています。
• 有限寿命設計： 軽量部品の場合、無限の寿命を想定して設計すると、重量が大きくなりコストも高くなります。そのため、目標寿命（例えば10⁶サイクル）を設定し、曲線から最大安全応力を読み取ります。
• 寿命推定： 当社では、車両が走行中に実際に受ける負荷を記録し、それを当社のSN曲線と照合し、累積損傷計算を用いて部品の交換時期を推定します。
• 素材比較： 材料を選定する際には、それぞれのSN曲線を重ね合わせます。グラフ上でより高い位置にある曲線の方が、より優れた疲労特性を示します。

7. よくある質問

低サイクル疲労と高サイクル疲労の違いは何ですか？

低サイクル疲労は、材料が塑性変形を起こし、10⁴サイクル未満で破損する高応力下で発生する。一方、高サイクル疲労は、変形が弾性的に維持される低応力下で発生し、材料は何百万サイクルにも耐えることができる。

複合材料には疲労限度があるのでしょうか？

いいえ。ほとんどの繊維強化複合材料は、平坦な水平方向の疲労限度を示しません。数千万回のサイクル後でも曲線は下降し続けるため、有限寿命設計法を用いて設計する必要があります。

応力比$R$は疲労寿命にどのように影響しますか？

応力比が高い場合（例えば、$R = 0.1$、これは引張-引張荷重の場合）、材料には一定の引張力が加わります。この一定の引張力によって微細な亀裂がより速く開き、SN曲線が下方にシフトして材料の寿命が短くなります。