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- Auteur: Johnny Liu, PDG de Dowway Vehicle
- Publié : 6 juillet 2026
- Catégorie: Dynamique des rotors, génie mécanique, NVH et conception de suspensions
À propos de l’auteur
Johnny Liu dirige Dowway Vehicle en tant que PDG. Fort de plus de vingt ans d’expérience dans la dynamique structurelle automobile, la mise au point des châssis et les essais de bruit, de vibrations et de rudesse (NVH), Johnny s’attache à mettre en pratique des idées novatrices en matière de dynamique des rotors et de contrôle des vibrations pour les groupes motopropulseurs électriques et les systèmes de suspension des véhicules.
En mécanique élémentaire, la rigidité est simple : c’est la force nécessaire pour effectuer un déplacement unitaire. Sous une charge statique, cette valeur est fixe. Mais lorsqu’on considère des pièces en rotation et des structures mobiles, on se trouve face à un tout autre phénomène : rigidité dynamique. Ce concept appartient au monde des vibrations forcées.
Si une pièce élastique subit une force harmonique $P$ d’amplitude $A$ et de fréquence $\omega$, on l’écrit : $$P = A \sin(\omega t) \quad \text{— (1)}$$
Cette force provoque une vibration à cette même fréquence. Le mouvement $y$ (d’amplitude $Y$) dans la direction de la force est : $$y = Y \sin(\omega t) \quad \text{— (2)}$$
Nous définissons le rigidité dynamique ($k_d$) de cette partie comme :$$k_d = \frac{A}{Y} \quad \text{— (3)}$$
En termes simples, la rigidité dynamique est le rapport entre la force harmonique maximale en un point et le déplacement maximal causé par cette force dans la même direction.
Comme la fréquence de vibration forcée correspond à la fréquence de la force, dans le cas d’une fréquence unique, la rigidité dynamique est simplement l’amplitude de la force divisée par l’amplitude du déplacement. Ces deux valeurs varient avec la fréquence. Cela signifie La rigidité dynamique n’est pas constante. Elle varie en fonction du point d’application de la force, de la conception de la structure et de la fréquence de la force elle-même.
Les mathématiques : rigidité dynamique sur un support de masse
Prenons l’exemple d’un système simple pour comprendre comment la masse et la rigidité interagissent. Imaginons un système à un degré de liberté où une force dynamique agit sur un support constitué d’un ressort et d’une masse.
D’après l’équilibre des forces, l’équation du mouvement de ce support masse-ressort soumis à la force $P$ est : $$P – m\ddot{y} = ky \quad \text{— (4)}$$
Ici, $k$ représente la rigidité statique du ressort et $m$ la masse de support.
Nous substituons maintenant notre équation de force (1) et notre équation de déplacement (2). Puisque la dérivée seconde du déplacement est $\ddot{y} = -\omega^2 Y \sin(\omega t)$, nous obtenons : $$(k – m\omega^2) Y \sin(\omega t) = A \sin(\omega t) \quad \text{— (5)}$$
Résolvez cette équation pour l’amplitude de déplacement $Y$ :$$Y = \frac{A}{k – m\omega^2} \quad \text{— (6)}$$
Insérez l’équation (5) dans (6) pour obtenir le résultat final. rigidité dynamique ($k_d$) de ce soutien massif:$$k_d = \frac{A}{Y} = k – m\omega^2 \quad \text{— (7)}$$
Ces calculs mathématiques mettent en évidence un fait clair : la rigidité dynamique d’un système supporté par une masse est la rigidité statique du ressort ($k$) plus la rigidité d’inertie dynamique de la masse ($-m\omega^2$).
Contrairement aux ressorts idéaux dont la rigidité ne change jamais, un support réel change avec la fréquence $\omega$.
- Aux basses fréquences : Le terme de masse $m\omega^2$ est négligeable. La rigidité dynamique reste inchangée. positif et proche de la rigidité statique.
- Aux hautes fréquences : Le terme de masse $-m\omega^2$ croît rapidement. Lorsque $\omega > \sqrt{k/m}$, la rigidité dynamique devient négatif. Ici, ce sont les forces d’inertie qui font la loi.
Courbes de fréquence : rigidité vs flexibilité
Pour un système simple soumis à une force harmonique, nous suivons à la fois le courbe de rigidité dynamique ($k_{D0}$) et son contraire, le courbe de flexibilité dynamique ($W_0$).
On les écrit sous la forme : $$k_{D0} = k \sqrt{(1-\lambda^2)^2 + (2\xi\lambda)^2} \quad \text{— (8)}$$$$W_0 = \frac{1}{k \sqrt{(1-\lambda^2)^2 + (2\xi\lambda)^2}} \quad \text{— (9)}$$
Ici:
- $k$ représente la rigidité statique.
- $\lambda = \frac{\omega}{\omega_n}$ est le rapport de fréquence (fréquence de la force divisée par la fréquence naturelle).
- $\xi$ est le rapport d’amortissement.
En traçant les équations (8) et (9) en fonction du rapport de fréquence $\lambda$, nous obtenons deux courbes claires.
Figure 1 : Flexibilité dynamique des vibrations forcées ($W_0$) vs. Rapport de fréquence ($\lambda$)
Figure 2 : Rigidité dynamique des vibrations forcées ($k_{D0}$) vs. Rapport de fréquence ($\lambda$)
Les trois zones de fréquence
Le rapport de fréquence λ modifie la rigidité dynamique de différentes manières selon la plage de fréquences. On distingue trois zones de comportement : la zone quasi-statique, la zone de résonance et la zone inertielle.
Nous pouvons estimer la rigidité dynamique dans ces zones à l’aide des équations (10), (11) et (12) :
1. La zone quasi-statique (rigidité statique dominante)
Lorsque la fréquence de la force est faible et reste bien inférieure à la fréquence naturelle ($\lambda \ll 1$), on peut négliger l’amortissement ($\xi \approx 0$). On estime la rigidité comme suit : $$k_{D0} \approx k (1 – \lambda^2) \quad \text{— (10)}$$
Dans cette zone, rigidité statique $k$ est le facteur principal. La rigidité dynamique diminue lentement selon une simple parabole lorsque la fréquence augmente.
2. La zone de résonance (amortissement dominant)
Lorsque la fréquence de la force se rapproche de la fréquence naturelle ($\lambda \approx 1$), les forces du ressort et de la masse s’annulent. L’amortissement devient alors le principal facteur de contrôle. On estime la raideur comme suit : $$k_{D0} \approx 2\xi k \quad \text{— (11)}$$
Ici, la rigidité dynamique de la structure chute à son point le plus bas. Sans un amortissement suffisant ($\xi$), le mouvement $Y$ va s’accélérer.
3. La zone inertielle (dominée par la masse)
Lorsque la fréquence dépasse largement la fréquence naturelle ($\lambda \gg 1$), les forces de masse deviennent prépondérantes. On estime la rigidité comme suit : $$k_{D0} \approx k\lambda^2 \approx m\omega^2 \quad \text{— (12)}$$
Dans cette zone, la rigidité dynamique dépend presque entièrement de la masse physique $m$. La rigidité du ressort $k$ ne fait pratiquement rien pour arrêter les forces à haute fréquence.
Résumé des zones de fréquence
| Zone de fréquence | Rapport de fréquence (λ) | Formule d’approximation | Paramètre dominant | Comportement de rigidité |
|---|---|---|---|---|
| Zone quasi-statique | $\lambda \ll 1$ | $k_{D0} \approx k(1 – \lambda^2)$ | Rigidité statique (k$) | Se maintient proche de la rigidité statique ; diminue lentement. |
| Zone de résonance | $\lambda \approx 1$ | $k_{D0} \approx 2\xi k$ | Rapport d’amortissement (ξ) | Chute jusqu’à son point le plus bas ; contrôlée par l’amortissement. |
| Zone inertielle | $\lambda \gg 1$ | $k_{D0} \approx m\omega^2$ | Masse (m) | Contrôlée par la masse ; diminue en dessous de zéro lorsque la fréquence augmente. |
Foire aux questions (FAQ)
Q1 : Quelle est la principale différence entre la rigidité statique et la rigidité dynamique ?
Réponse courte : La rigidité statique résiste aux forces constantes ; la rigidité dynamique résiste aux forces vibratoires et varie avec la fréquence.
Explication détaillée : La rigidité statique est une valeur fixe. Elle indique la résistance d’une pièce à une charge constante. La rigidité dynamique varie avec la fréquence car la masse et les forces d’amortissement interagissent lorsque la charge vibre.
Q2 : Pourquoi la rigidité dynamique devient-elle négative aux hautes fréquences ?
Réponse courte : Car les forces d’inertie à haute fréquence surpassent les forces de ressort et poussent la masse dans la direction opposée.
Explication détaillée : Lorsque la fréquence dépasse la fréquence propre (ω > √k/m), l’inertie de la masse devient supérieure à la force de rappel des ressorts. Ce déphasage provoque un mouvement de la masse opposé à la force du ressort, ce qui se traduit mathématiquement par une raideur négative.
Q3 : Comment cela guide-t-il la conception de la suspension des véhicules et des supports de moteur chez Dowway Vehicle ?
Réponse courte : Cela nous permet de conserver des supports moteur souples pour les bourdonnements à haute fréquence, mais rigides pour les forces motrices à basse fréquence.
Explication détaillée : Les moteurs des voitures électriques produisent des bourdonnements à haute fréquence. Nous concevons des supports qui fonctionnent dans la zone d’inertie pour ces bourdonnements, en minimisant la rigidité dynamique afin que les vibrations ne se propagent pas dans l’habitacle. En revanche, pour le couple à basse fréquence lors des accélérations, le support fonctionne dans la zone quasi-statique, assurant la stabilité du moteur grâce à une rigidité statique élevée.